Indice

I numeri naturali

Introduzione

Creati dalla mente umana per contare gli oggetti (pecore, soldi, figli, ecc…), i numeri naturali non hanno nessun riferimento con le caratteristiche qualitative degli oggetti, come ad esempio il colore, la ruvidezza, l’aspetto estetico, ecc… L’idea di numero ha un carattere astratto e pare che sia la più grande astrazione di cui è capace la mente umana.

Mentre gli antichi greci scelsero come base della loro matematica enti geometrici come punti e rette, è un principio moderno che le proposizioni della matematica in definitiva debbano essere riconducibili a proposizioni sui numeri naturali {1;2;3;…}.

Con l’affermazione:”Dio creò i numeri naturali, tutto il resto è opera dell’uomo” Leopold Kronecker (1823-1891) indicava le fondamenta su cui erigere l’edificio matematico.

Che cos’hanno in comune cinque pere, cinque soprammobili e i Beatles? Chiaramente il numero 5. I numeri naturali sono quindi l’insieme degli enti astratti che formano una serie ordinata e che usiamo per contare gli oggetti:

Ma cosa s’intende per insieme? Un insieme non è altro che una collezione di oggetti, distinguibili tra loro, accomunati da una certa caratteristica. Vediamo altri esempi di insieme:

A={l’insieme dei giorni della settimana}={lunedì, martedì, mercoledì, giovedì, venerdì, sabato, domenica}

B={l’insieme dei giorni del mese di gennaio}.

Esercizio

Rappresentare per elencazione i seguenti insiemi:

C={l’insieme delle lettere che formano la parola aiuole }

D={l’insieme dei capoluoghi del Trentino-Alto Adige Südtirol}

E={l’insieme delle materie studiate in classe}

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Addizione e moltiplicazione e loro proprietà

Somma e prodotto sono due operazioni che possiamo svolgere nell’insieme N, vale a dire combinazioni tra due elementi per dare luogo ad un nuovo elemento finale, detto risultato. A livello pratico si può affermare le l’addizione è l’operazione che consente di determinare la quantità risultante dall’unione di due o più quantità di natura omogenea. La moltiplicazione viene definita come l’addizione di più quantità, tutte uguali tra loro.

Ad esempio il seguente calcolo:

può essere indicato sinteticamente come:

Leggiamo la frase:

e notiamo che, in assenza di punteggiatura, è alquanto ambigua.

Occorre fare attenzione quando capita di dover fare delle addizioni e moltiplicazioni insieme. Per esempio, si calcoli:

Avete risposto 17? La risposta potrebbe essere giusta. Avete risposto 24? Anche questa potrebbe essere giusta. Occorre in questo caso specificare quale operazione viene fatta per prima. Questo si ottiene usando le parentesi. Se non ci sono parentesi, per convenzione, la moltiplicazione ha la precedenza.

Esercizio

• 7*(3+2)= ?
• 7*3+2= ?

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Vediamo come si possono capire addizione e moltiplicazione tramite il seguente modello: immaginiamo di avere delle scatole con diverse palline dentro. Avremo quindi per addizione e moltiplicazione:

Per stabilire leggi generali non si possono usare simboli come 1,2,3, che si riferiscono a numeri interi particolari; ad esempio l’uguaglianza

è solo un caso particolare della legge che afferma che: "Mutando l’ordine degli addendi la somma non cambia" che è valida indipendentemente dal valore dei numeri. Perciò, usando le lettere a,b,c per indicare simbolicamente qualunque terna di numeri naturali, abbiamo le seguenti

• a+b=b+a
• ab=ba
• a+(b+c)=(a+b)+c
• a(bc)=(ab)c
• a(b+c)=ab+ac

Le prime due si dicono proprietà commutative, la terza e la quarta associative e l’ultima è la proprietà distributiva. Si possono dimostrare tramite il modello di scatole e palline visto sopra. Tali proprietà che sembrano così astratte sono in realtà utilizzate spessissimo in problemi pratici. Se ad esempio Marco ci deve 3 Euro, Antonio 5 e Sebastiano 7, per noi è indifferente se si incontrano prima Marco e Antonio (8 Euro) e poi Sebastiano (7 Euro) oppure se prima si incontrano Antonio e Sebastiano e portano i loro 12 Euro assieme ai 3 di Marco: alla fine riceviamo sempre 15 Euro.

Riusciamo a svolgere velocemente la moltiplicazione 1001*17 senza l’uso di calcolatrici? Sì, è:

L’ultima legge permette un procedimento che prende il nome di messa in evidenza: se io sommo due numeri ab+ac che hanno uno stesso fattore a io posso esplicitare tale fattore. Ad esempio, dovendo sommare 3 milioni e 4 milioni, quello che otterrei è:

cioè, proprio come potevamo aspettarci, 7 milioni.

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Le potenze e loro proprietà

L’operazione di moltiplicazione di più fattori, tutti uguali tra loro, viene definita potenza. Il fattore prende il nome di base, mentre il numero di volte che viene moltiplicato prende il nome di esponente e viene segnato come apice della base. Ad esempio:

10*10*10*10=10 ⁴.

Valgono le seguenti proprietà:

• a^m*aⁿ=a^m+n

Esempio

3²*3⁴=3*3*3*3*3*3=3⁶=3²⁺⁴

• (a^m)ⁿ=a^m*n

Esempio

(7³)²=(7*7*7)²=(7*7*7)*(7*7*7)=7⁶=7^3*2

• aⁿ*bⁿ=(a*b)ⁿ

Nel caso in cui l’esponente fosse negativo per convenzione interpretiamo la potenza come fosse una divisione; ad esempio:

A questo punto risulta chiaro che qualsiasi numero elevato a potenza zero è uguale a 1. Infatti, ad esempio:

ATTENZIONE! La prima di queste regole vale solo quando le due potenze hanno la stessa base e vengono moltiplicate tra loro. Notiamo ad esempio che:

Esercizi

• 3³= ?
• 2²*2⁴= ?
• (2²)⁴= ?
• 10³+10⁶= ?

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Notiamo che la proprietà commutativa, valida per addizione e moltiplicazione, non vale per l’elevazione a potenza. Infatti, ad esempio, 7³=7*7*7=343 è molto diverso da 3⁷=2.187!

Unica eccezione è 16=2⁴=4².

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L’induzione matematica - N è insieme infinito

La successione di numeri interi non ha termine, poiché dopo qualunque numero n si può scrivere il successivo n+1. La successione dei numeri interi rappresenta il più semplice esempio dell’infinito matematico.

Sul procedimento di passaggio al successivo si basa anche l’induzione matematica.

Diversamente dall’induzione empirica, che procede da una serie di osservazioni particolari per ottenere leggi universali (ad esempio: domani il sole sorgerà ancora), l’induzione matematica è utilizzata per dimostrare la verità di un teorema in una successione infinita di casi: dal primo, al secondo, e così via per tutti senza eccezioni.

Esempio

Per ogni n intero positivo abbiamo che 2ⁿ≥n+1. Dimostriamo la tesi in due passi:

1° passo: verifichiamo per n=0. 2⁰=1≥0+1=1 cioè 1≥1 che è verificata.

2° passo: considerando la tesi vera per un certo n, dimostriamola per il successivo n+1. Si tratta quindi di far vedere che 2ⁿ⁺¹≥n+2. Ma noi sappiamo che 2ⁿ⁺¹=2*2n che per ipotesi è maggiore di 2*(n+1)=2n+2, che, dal momento che n è positivo, sarà senz’altro più grande di n+2.

È possibile costruire l'insieme dei numeri naturali N partendo da un elemento iniziale ed utilizzando una funzione di costruzione del successore tramite un procedimento detto di induzione strutturale (assiomi di Peano).

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Rappresentazione dei numeri interi e sistema decimale

Modelli simili alle nostre scatole, quali l’antico abaco, furono diffusamente usati per i calcoli numerici fino al tardo medioevo, e vennero lentamente sostituiti da metodi simbolici molto superiori, basati sul sistema decimale.

Per prima cosa bisogna distinguere tra un numero intero e il simbolo usato. Poiché infatti i numeri sono infiniti, sarebbe un problema se per ognuno di essi dovessimo utilizzare un simbolo diverso. Nel sistema decimale si usano le cifre 0,1,…,9. Un numero più grande, ad esempio milletrecentoventisei, si scrive in cifre 1326. Il significato delle cifre dipende dalla loro posizione, in questo caso: 1000+300+20+6. Incidentalmente notiamo che le cifre sono i resti della divisione per 10:

1326:10=	132				resto 6
	132:10=	13			resto 2
		13:10=	1		resto 3
			1:10=0		resto 1

L’invenzione della notazione posizionale, attribuita ai babilonesi e sviluppata degli indiani, ebbe un’importanza enorme nel progresso della civiltà.

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Cenni su sistemi non decimali

L’utilizzo di un sistema in base dieci risulta ovviamente dalla considerazione che l’uomo ha 10 dita. Eppure esistono e vengono utilizzati anche altri sistemi non decimali. Ad esempio per misurare ore e angoli, per un antico retaggio dell’astronomia babilonese, viene utilizzato un sistema sessagesimale basato su 60 minuti. In francese le parole vingt e quatre-vingt per indicare 20 e 40 fanno pensare ad un sistema base venti. Nei computer invece, dove i dati vengono codificati tramite due diverse tensioni elettriche (acceso/spento), viene utilizzato un sistema binario. Particolare importanza assumono le potenze di 10, dal momento che il Sistema Internazionale è un sistema metrico decimale:

	fattore		prefisso		valore		Nome italiano (diverso da inglese e tedesco)
	1024		yotta		1 000 000 000 000 000 000 000 000
	1021		zetta		1 000 000 000 000 000 000 000
	1018		exa		1 000 000 000 000 000 000		quintilione (trilione)
	1015		peta		1 000 000 000 000 000		quadrilione
	1012		tera		1 000 000 000 000		trilione (bilione)
	109		giga		1 000 000 000		miliardo o bilione
	106		mega		1 000 000		milione
	103		chilo		1 000		mille
	102		etto		100		cento
	101		deca		10		dieci
	10-1		dieci		0,1		un decimo
	10-2		centi		0,01		un centesimo
	10-3		milli		0,001		un millesimo
	10-6		micro		0,000 001		un milionesimo
	10-9		nano		0,000 000 001		un miliardesimo
	10-12		pico		0,000 000 000 001		un trilionesimo (bilionesimo)
	10-15		femto		0,000 000 000 000 001		un quadrilionesimo
	10-18		atto		0,000 000 000 000 000 001		un quintilionesimo (trilionesimo)
	10-21		zepto		0,000 000 000 000 000 000 001
	10-24		yocto		0,000 000 000 000 000 000 000 001

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“Conterò poco, è vero: - diceva l'Uno ar Zero - ma tu che vali? Gnente: proprio gnente. Sia ne l'azione come ner pensiero rimani un coso voto e inconcrudente. Io, invece, se me metto a capofila de cinque zeri tale e quale a te, lo sai quanto divento? Centomila. È questione de nummeri. A un dipresso è quello che succede ar dittatore che cresce de potenza e de valore più sò li zeri che ie vanno appresso.”

Trilussa, 1944

-- MarcoCaresia - 09 Jul 2005