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I numeri reali

L’insieme dei numeri razionali è un insieme denso: per ogni coppia di numeri razionali ne esistono infiniti altri tra essi compresi. A questo punto si potrebbe ragionevolmente pensare che i punti immagine dei numeri razionali riempiano completamente la retta, INVECE NON È COSÌ!!!

Infatti se ad esempio riportiamo sulla retta numerica il segmento ipotenusa del triangolo rettangolo i cui cateti misurano entrambi 1 otteniamo un punto che non è immagine di alcun numero razionale, ossia radice di 2.

Le radici: definizione e proprietà

Data un certo numero positivo a definiamo la radice aritmetica di a di indice n quel particolare numero x la cui potenza n-esima risulta uguale ad a (radicando):

Proprietà

Per ogni a e b reali e n,p,k interi valgono le seguenti proprietà:

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Esempio

infatti 4³=64

Possiamo quindi interpretare la radice quadrata come l’operazione inversa dell’elevazione a potenza:

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Esempio

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Esempio:

Operazioni con i radicali, razionalizzazioni

È un utile procedimento che si basa sulla seguente identità:

Esempi:

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È importante notare, come nel caso già visto delle potenze, che la radice della somma è generalmente diversa dalla somma delle radici. Infatti, ad esempio,

a meno che non si voglia affermare che 5 è uguale a 7!

Solitamente i denominatori irrazionali rendono i calcoli abbastanza complessi, per cui si è soliti trasformare le frazioni così strutturate in frazioni equivalenti con denominatori razionali. Questo procedimento prende il nome di razionalizzazione del denominatore. Vediamo per prima cosa tre esempi:

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Quanto visto sopra vale per la razionalizzazione della radice quadrata di qualsiasi numero (primo caso) e nella somma o differenza tra due radici quadrate (secondo e terzo caso). Abbiamo così la regola: per razionalizzare una frazione con a denominatore una radice quadrata moltiplico e divido per la stessa radice; per quel che riguarda somma e differenza di radici quadrate moltiplico e divido rispettivamente per la sottrazione e la somma delle stesse radici.

Radice di 2 e pi greco: approssimazioni per eccesso e difetto

A livello prettamente aritmetico, la necessità di estendere l’insieme dei numeri razionali nasce ancora una volta dall’esigenza di effettuare senza restrizioni l’inversa di una operazione razionale, ossia dell’elevamento a potenza. Sappiamo che è possibile estrarre “esattamente” solo la radice n-esima di un numero che sia potenza n-esima, mentre negli altri casi è possibile estrarre la radice solo con un certo grado di approssimazione. Ad esempio, sappiamo che 2³=8, e quindi , ma non possiamo, con le operazioni razionali, calcolare quel numero che elevato alla seconda dia come risultato 2. Possiamo però utilizzare il seguente metodo per calcolarlo approssimato. Cominciamo con un’approssimazione decisamente “grossolana”: consideriamo i due numeri interi dei quali sappiamo estrarre la radice quadrata (che sono cioè quadrati perfetti), che più si avvicinano al numero 2 (per eccesso e per difetto), ossia i numeri 1 e 4; poiché 1< 2 < 4, si ha che .

Per migliorare la stima procediamo nel seguente modo: calcoliamo 1,1², 1,2², ... , finché non determiniamo il primo numero di questo tipo che supera 2, cioè 1,5² = 2,25. Ciò significa che la radice di due è compresa tra i numeri 1,4 e 1,5.

Scrivendo che la radice di due è pari a 1,4 commettiamo un errore di al più un decimo.

Miglioriamo ancora: poiché 1,41² = 1,9881 < 2 e 1,42² = 2,0264 > 2, possiamo approssimare la radice di 2 a 1,41 commettendo un errore che è al massimo un centesimo. È evidente che si può continuare in questo procedimento per quanto si vuole (disponendo di tempo libero), ottenendo via via numeri che approssimano radice di due con sempre minor errore.

Si vedano i seguenti siti:

• http://www.cut-the-knot.org/proofs/sq_root.shtml (diverse dimostrazioni dell'irrazionalità dei radicali);
• http://www.ibiblio.org/pub/docs/books/gutenberg/etext94/2sqrt10a.txt (5.000.000 di cifre calcolate dalla NASA).

Il rapporto fra diametro e circonferenza del cerchio, simbolizzato dalla lettera greca , salta fuori in ogni sorta di situazioni che non hanno a che fare con i cerchi.

Ad esempio, se due numeri vengono scelti a caso da un insieme di numeri positivi, qual è la probabilità che abbiano divisori in comune? La sorprendente risposta è 6/².

non può essere espresso come radice di un equazione algebrica, ma unicamente come risultato di un qualche processo infinito.

Nessuna frazione con interi sopra e sotto la linea può essere esattamente uguale a , ma ve ne sono molte che vi si avvicinano. 355/113, ad esempio, frazione riportata nel V secolo d.C. dall’astronomo cinese Tsu Chung-Chih, dà esattamente alle prime sei cifre decimali! Vi sono anche radici che approssimano : (3,162…), (differisce da meno di un millesimo).

Procedimenti infiniti per l’approssimazione di vengono da Wallis:

e da Leibnitz: Il seguente grafico mostra l’andamento dell’ultima serie: La formula precedente è utile per ottenere formule per eccesso o per difetto del caso in cui fermassimo il procedimento rispettivamente dopo una somma o dopo una differenza:

Il più instancabile dei calcolatori fu il matematico inglese William Shanks. Per vent’anni continuò a calcolare fino ad arrivare a 707 decimale. Purtroppo fece uno sbaglio alla 528° cifra…

Nel 1996, David H. Bailey, in collaborazione con i matematici canadesi Peter Borwein e Simon Plouffe, ha scoperto questa sorprendente formula per il calcolo dei decimali di pi greco:

che permette di calcolare un certo decimale senza dover calcolare anche i precedenti.

Per curiosità, perché non ricercare il proprio nome nascosto tra le cifre infinite di : http://pisearch.lbl.gov/ ?

Insieme dei numeri reali e corrispondenza biunivoca con i punti della retta

Chiamiamo insieme dei numeri reali R, l’insieme formato dai razionali uniti agli irrazionali.

In tale insieme la ricerca di x tale che x²=k (con k razionale positivo) ha sempre due soluzioni reali ed opposte:

È possibile inoltre associare ad ogni elemento di R un unico punto di una retta; viceversa, per ogni punto della retta si può trovare il corrispondente numero reale.

Questo esprime la possibilità di avere una corrispondenza, biunivoca, che associa punti e numeri reali.

Significa per prima cosa che i punti della retta sono tanti quanti i numeri reali; in secondo luogo mi propone un forte modello interpretativo: la possibilità di collegare in un modo particolarmente forte enti algebrici come i numeri reali con enti geometrici come i punti di una retta!

-- MarcoCaresia - 10 Jul 2005