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I numeri relativi (gli interi con segno)

Per creare uno strumento adeguato ai bisogni della pratica e della teoria è necessario dare una estensione al concetto di numero, a partire da quello originario di numero naturale. Ad esempio, supponiamo che pomeriggio la temperatura esterna sia di 6 gradi e che scenda nel corso della notte di 10 gradi. Un altro caso nel quale i numeri naturali non bastano (anche se non lo vorremmo) è quando usiamo il bancomat al di sopra del limite di quello che abbiamo effettivamente in banca: possiamo continuare a prelevare, ma quello che aumenteremo saranno i nostri debiti nei confronti della banca. Ancora, se a Bolzano sono le ore 5 di mattina, quante ore mancano alla mezzanotte a New York?

L’insieme dei numeri relativi è quindi:

Ed è possibile affermare che Z costituisce un ampliamento dell’insieme Z dei numeri naturali.

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L’operazione inversa della somma

Basandosi sulla definizione di addizione si può definire la relazione di disuguaglianza. Dire che un numero a è minore di un numero b (e si scrive a < b ) è equivalente a dire che b è maggiore di a (e si scrive b > a ) e vogliono significare che la scatola b può essere ottenuta aggiungendo qualcosa, diciamo la scatola c, alla scatola a, ovvero:

Questo significa che

dove definiamo la sottrazione come operazione inversa della somma, col significato di togliere una quantità (nel nostro modello: togliere palline). In pratica c è quel che manca ad a per diventare b.

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Introduzione del numero 0 – definizione di opposto

Si può estendere il dominio dei numeri relativi rappresentati da scatole di palline, introducendo un nuovo numero intero, chiamato zero, rappresentato da una scatola completamente vuota. Se indichiamo la scatola vuota con il simbolo usuale 0, in base alle nostra definizioni di somma e prodotto, per ogni numero intero a si avrà (proprietà aritmetiche dello zero):

Infatti a+0 indica l’aggiunta di una scatola vuota ad a e a*0 è una scatola senza colonne, cioè una scatola vuota. Possiamo estendere la definizione di sottrazione ponendo

per ogni a. Il numero b tale che a + b = 0 è detto opposto di a. Ad esempio l’opposto di 4 è –4.

Esercizio

Calcolare gli opposti dei seguenti numeri.

1. Opposto di 3 è?
2. Opposto di –2 è?

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Somme e differenze – avanti e indietro sulla retta

Risolviamo i seguenti problemi:

1. Marco ha un credito di 3 euro e un credito di 7 euro. Quanti euro ha in tutto di credito?
2. Zeno ha un debito di 3 euro e un credito di 7 euro. Quanti euro ha in tutto di credito?
3. Laura ha un debito di 3 euro e un debito di 7 euro. Quanti euro ha in tutto di debito?

La soluzione è la seguente:

1. 3 (credito) + 7 (credito) = 10 (credito)
2. –3 (debito) + 7 (credito)= 4 (credito)
3. –3 (debito) –7 (debito)= -10 (debito)

Regole

La somma di due numeri relativi di segno uguale è quel numero che ha per valore la somma dei valori e come segno il segno dei valori. La somma di due numeri relativi di segno opposto è quel numero che ha per valore la differenza tra i valori e per segno il segno del numero che ha valore assoluto maggiore. Nel caso in cui i due numeri siano opposti la somma è zero.

Immaginiamo un nuovo modello per i nostri numeri: immaginiamo una retta infinita su cui definiamo una certa lunghezza (che vale come unità) con un verso (quello dell’addizione) e fissiamo un centro (zero). Quello che otteniamo è:

A questo punto otteniamo gli interi positivi staccando segmenti sulla retta nel verso dell’addizione, mentre gli interi negativi li otteniamo in modo analogo nel verso opposto:

Che significano in questo nuovo modello le operazioni di somma e sottrazioni? Intanto notiamo che la distanza di un numero dallo zero equivale al suo valore assoluto (cioè senza segno). Inoltre due numero opposti (ad esempio 2 e –2) sono simmetrici rispetto allo zero.

Con questo modello risulta anche facile il confronto fra due numeri: quello più a destra è anche il più grande. Notiamo ancora che, con le regole enunciate sopra, la differenza tra due numeri equivale alla loro distanza. Addizionare un numero ad un altro significa invece spostarsi verso destra del valore assoluto del secondo numero, se è positivo, e verso sinistra se è negativo.

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Prodotto tra numeri con segno – regole dei segni

Sappiamo che il prodotto tra +3 e +4 è uguale a +12. Quanto fa –3 per 4 oppure –4 per –3?

Affinché siano sempre verificate le proprietà commutative, distributive e associative di somma e prodotto abbiamo le seguenti:

Regole

• Un numero positivo moltiplicato un numero positivo dà come risultato un numero positivo.
• Un numero negativo per un numero negativo dà ancora un numero positivo.
• Il prodotto di numeri con segni opposti dà come risultato un numero negativo.
• Qualsiasi numero moltiplicato per zero dà zero.

Possiamo memorizzare la regola pensando ad un modello simile al precedente, dove questa volta le rette infinite sono due, e si intersecano perpendicolarmente nei loro punti zero. Tali rette dividono lo spazio in quattro regioni (due con segno positivo e due negativo). Il risultato di una moltiplicazione è data dall’area del rettangolo con il segno della regione in cui si trova:

-- MarcoCaresia - 10 Jul 2005